具有尖孤子解的新可积模型以及孤子方程解的代数几何构造

【摘要】本文主要分为如下两个部分：其一，借助于Lenard递推序列，推导出分别与一个4×4、两个3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程族，对于某些方程族或者方程，我们给出了它们的广义Hamilton结构和无穷守恒律；其二，我们给出了相应孤子方程的精确解。其中第二章，我们给出了相应CH型方程的尖孤子解；第四、五章基于三角曲线理论及代数几何知识，我们构造出了相应孤子方程的代数几何解。第二章中，我们通过引入负幂流，得到三类CH型方程。其中两个具有Npeakon形式解。我们借助广义函数δ，给出了Npeakon解所满足的动力系统。孤子方程的代数几何解揭示解的内部结构，描述了非线性现象的拟周期行为。本文第三章主要介绍黎曼面以及Theta函数的相关知识，其中的概念，引理以及定理可以更好地帮助我们理解三角曲线。第四章和第五章，我们采取一套很系统的方法去构造三角曲线，再通过引入适当的Baker-Akhiezer函数，亚纯函数及椭圆变量，从而将孤子方程分解为可解的Dubrovin-type常微分方程组。进一步，根据亚纯函数及Baker-Akhiezer函数零点和极点的性质，我们定义第二类和第三类Abel微分，结合Riemann定理及Riemann-Roch定理，得到了亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数的黎曼theta函数表示。最后，我们再结合亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数的渐近性质，给出了孤子方程族的代数几何解。
【作者】王辉；
【导师】耿献国；
【作者基本信息】郑州大学，基础数学，2014，博士
【关键词】Lenard递推方程；CH型方程；Hamilton结构；无穷守恒律；三角曲线；代数几何解；

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